混沌理论先驱李天岩去世，最早严格定义“混沌”，提出“周期三即混沌”

华人数学物理学家李天岩（1945-2020）

杰出的华人数学物理学家李天岩教授，于美国东部时间 6 月 25 日上午 9 点去世。李天岩是密歇根州立大学杰出教授，曾经获得古根海姆奖。

李天岩博士在数学与复杂科学的多个重要领域作出过开创性工作。他与詹姆斯·约克（James Yorke）首次在数学上定义“混沌”概念；他对乌拉姆（Stanislaw Ulam）猜想的证明是动力系统不变测度计算理论与算法研究的奠基性工作；他与凯洛格（R.B. Kellogg）及约克关于计算布劳威尔（L.E.J. Brouwer）不动点的思想和数值方法，开辟了现代同伦延拓算法研究的新天地。

李天岩和他导师詹姆斯·约克 1975 发表了经典论文《周期三意味着混沌》（Period Three Implies Chaos），第一次在动力学研究中引入“Chaos”的概念，提出“周期三即混沌”，开创了混沌动力系统研究的新纪元。

混沌现象在各个领域广泛存在，对它的定义有多种，而李-约克的混沌定义，是影响最大的一种。这篇论文目前的引用量已近 5 千次。

李-约克定理揭示了混沌动力系统的初值敏感性以及由此产生的解的不可预测性，这是混沌现象的本质特征。

同为科学先驱，混沌理论之父爱德华·洛伦茨（Edward Lorenz）于 2008 年去世，费根鲍姆常数发现者米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）于 2019 年 6 月去世，Logistic 映射提出者罗伯特·梅（Robert May）于 2020 年 4 月去世。

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这里我们转载李天岩教授的一篇回忆文章，以表怀念。

注：本文整理自 2005 年底及 2006 年底两次在新竹国立清华大学的演讲，刊登于《數學傳播》31 卷 4 期，简体中文版最早刊载于丘成桐等主编的《数学的人文》第 17 辑。分节和小标题为编者补充。

李天岩《回首来时的路》

当初第一志愿考进数学系，当然号称是因为对数学感兴趣，其实中学时代对数学的所谓兴趣多半也只是建立在钻研和解决数学难题时所得到的“快感”上吧。没想到一进了大学，差点就被初等微积分里那些莫名其妙的 ε-δ 给逼疯了。记得那时同寝室的另外三位室友都是大一数学系的新生，我们多在晚间 11 点左右就熄灯就寝。但是常常在半夜一两点钟时，发现大家都被那些 ε-δ 的抽象概念搞得睡不着觉。记得我隔壁书桌的一位同学常常在打草稿写“遗书”，内容基本上是说：什么都搞不懂，不知怎么办好，不想活下去了……。

后来到了美国以后才知道，我们都不是天字第一号的笨蛋。好比说，在我目前任教的密歇根州立大学，系里根本禁止在一、二年级初等微积分的课程里灌输学生所谓 ε-δ 的抽象概念。其实在牛顿、莱布尼茨（Leibniz）发明微积分时，“逼近”、“渐近”、“无穷小”（Infinitesimal）的概念并没有非常严格的“定义”。也只有到 19 世纪中期，数学界的“领导”才开始对所有数学概念要求“严格地定义”（Rigorously defined）。

比如说，请告诉我到底什么是“1”？什么是“2”？为什么 1+1=2？（说到这一点，到底什么是“+”？）若在初等微积分入门阶段就要用 ε-δ 去严格刻画“逼近”、“渐近”、“无穷小”的抽象概念，就好像在小学生学基本算术加乘法之前，要求他们先严格定义什么是“1”，什么是“2”……若真如此，少年维特对数学的烦恼肯定要提早发生了，不是吗？

中学时代对数学难题的钻研根本上和数学概念上的所谓直觉（Intuition）没什么关系，因此大家好像都严重忽略在引入抽象概念之前，先介绍直觉的重要性。我也是到美国以后才知道，数学上的逻辑推理和对数学结构性的认知有相当大的差距。

记得上次在南京时，和一位南京大学数学系的年轻教授共进午餐，这位教授那时并没有留过“洋”，他听说东方学生到美国念研究所一、二年级时成绩多半杰出，可是过了选课期到研究做论文的阶段就逐渐落后美国学生，不知是真是假？其实这位教授所听说的大致正确。一般较用功的东方学生，在国内受教育时大都下很大工夫在记忆数学上的逻辑推论：这一步为什么导出下一步，下一步为什么导出再下一步……然后把所有习题都拿来钻研一下。在这种情况下，一般的笔试是很难考倒这帮学生的。

可是美国学生所不同的是，在他们早期的数学教育里却已很普遍地在问：这到底在讲什么（What it says）？以及它为什么行得通（Why it works）？这些问题在笔试时几乎不太可能遇到，但在做研究时却是非常非常重要。

我有一个台湾来的博士生，有一次我请他把我在专题讨论班里讲过的一篇很重要、很复杂的文章用他自己的数学语言仔细写出来。从他后来交来的报告里，可以看出他的确下了很大的工夫把文章中被省略的逻辑细节严密地补足了。我把他的报告改了改还给他。然后他又交了来，我又改了改再还给他。他再交来时，我请他告诉我，这篇文章到底在干什么？没想到他却一个字都答不上来。

其实在一般的数学研究论文里，我们最常见的是作者用一些莫名其妙的定义推些最一般性的定理。我们若只是非常用力地去了解它的逻辑推理，而轻易忽略去搞清楚作者脑子里到底在想些什么，那么我们对文章的了解将非常有限，很难由此做出杰出的工作。非常遗憾的是，极多数重要 论文的作者都不会轻易把他们脑子里真正的重点用力写出来。你必须自己去问这些问题，自己去追寻它的答案。

这一路过来，我常举的一个例子是，我对一个矩阵的“行秩”和“列秩”为什么会相等的好奇。其实在任何基本“线性代数”的书里，我们都可以找到它们为什么相等的证明。但是从那些逻辑推理的外表，我实在看不出它们为什么刚好相等（Happen to be equal）。在我真正了解到它们为什么会一样的过程中，这个“好奇”却帮我了解了许多广义逆矩阵的几何意义。又好比说，谁不会矩阵运算里的“高斯消去法”啊？

有一次我问台湾南部大学数学系的一位教授（这位教授在大学念书时，好像还赢过台湾“线性代数”比赛的“银牌”）高斯消去法的几何意义到底是什么？他说，这年头谁要去想这种问题？！语言简单的东西（好比“拓扑熵”）懂不懂好像不那么重要。管它懂不懂人们照样可以发表SCI的文章。可是遇到较复杂的语言时，好比近代代数几何里的基本语言“概形”（Scheme）【代数几何中的一个基本概念，20 世纪 50 年代由亚历山大·格罗滕迪克（Alexandre Grothendieck）引入】，若对它整个的来龙去脉缺乏一个整体性的理解，一般人恐怕连“定义”都无法轻易记忆。

记得我在自修“交换代数”时，遇到所谓“局部环”（Local ring），当时只是好奇，为什么称它为“局部环”？从它定义（只有唯一的一个最大理想（Maximal ideal）的环）的表面实在看不出凭什么称它为“局部环”。可是在我试图真正去了解为什么要称它为局部环的过程里，这个“好奇”却帮我了解了许多代数几何上的概念。这一路过来，这种对数学的“好奇”以及对这些“好奇”问题答案的追逐的确给我带来研读数学的极大乐趣。在这里我想强调的是，对这些“好奇”的追求毫无争取在 SCI 的期刊上发表论文的意图.

2. 进入马里兰大学

当初去马里兰大学念研究所是一个巧合，遇到后来的指导教授詹姆斯·约克（James A. Yorke）【詹姆斯·约克，作者的博士生导师，曾任马里兰大学数学系主任，2013年退休，现为该校杰出荣誉教授。1975年，他和作者合写的论文《周期三则混沌》（Period Three Implies Chaos）是混沌动力系统的重要论文，其研究结果是沙可夫斯基定理（Sharkovskii"s theorem）的特殊情况。此外，本文提到的求布劳威尔不动点的算法是师生合作的另一重要成果】更是一个极大的巧合。记得约克教授第一次看了我当初在清华大学念书的档案时，显然吃了一惊，以为我是哪路“高手”，功力无比深厚。现在回想起来那个档案里所记录的实在是有极大的误导（Misleading，这字有时是指人“欺诈”的礼貌性用词）。

看哪！我在念大二的“三高”时，“高等微积分”用的是阿波斯托尔（Apostol）的《数学分析》；“高等几何”用的是哈尔莫斯（Halmos）的《有限维向量空间》；“高等代数”用的是雅各布森（N. Jacobson）的《抽象代数学》；“微分方程”用的是科丁顿（Coddington）的《常微分方程导论》；大三念“近世代数”时，用的是范德瓦尔登（Van der Waerden）的《近世代数》；念“复变函数论”用的是阿尔福斯（Ahlfors）的《复变函数》。另外，大三还念了拓扑学、数论。大四念了泛函分析、李群、实变函数论（用的是罗伊登（Royden）的《实分析》）、微分几何（用的是希克斯（Hicks）的《微分几何讲义》）。这些课不但都修过，而且成绩都不低（大四修的课都在90分以上）。在表面上看来，这个记录的确是相当雄壮了，不是吗？

可是今天把那些教科书拿出来翻一翻，实在很难想象当初是怎么混过来的。好比说，阿尔福斯那本书的水平不低，它决不适合做初学复变函数论的教科书。记得我们大二在学高等微积分时，教授根本就跳过了“线积分”（现在想来，大概根本的原因还在于阿波斯托尔那本书过于“高深”，教授无法教完书里大部分的材料）。

可是阿尔福斯的书基本上是假设读者已经清楚地掌握了所谓的“围线积分”（Contour integral，复平面上的线积分）。若是对围线积分都不甚了解，我很难想象当时怎么去理解“柯西积分定理”（Cauchy integral theorem）【一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理】、“洛朗级数”（Laurent expansion）【洛朗级数包含正负次数的项，无法表示为泰勒级数的复变函数可表示为洛朗级数】等基本概念。

那时的老师们好像一般都觉得，能用愈深的教科书（其实每本书都号称是自成一体的），学生自然就会变得愈“高档次”吧！其实抽象数学的出发点多半起始于对实际问题所建立的数学模型。然后将解决问题的方式建立理论，再抽象化，希望能覆盖更一般性的同类问题。因此在学习较高深的抽象数学理论之前，多多少少要对最原始的出发点和工具有些基本的认识。

要不然，若是一开始就搞些莫名其妙的抽象定义，推些莫名其妙的抽象定理，学生根本无法知道到底是在干些什么。可是为了考试过关，只好跟着背定义、背定理、背逻辑，一团混战。对基础数学实质上的认识真是微乎其微。我们那时的学习环境大致如此。所以我那时档案里的记录虽然极为令人印象深刻，但是如今回想起来，当时实在是“一窍不通”。背定理、背逻辑最多只能应付考试。毕业服完兵役以后，绝大多数以前所学都忘了。

3. 师从约克

老实说，在出国前，我真想放弃数学。后来在美国遇到了导师约克教授。从他那里，我才慢慢对学数学和数学研究有了些初步的认识。这些认识大大开阔了我以后学习数学的视野和方式。最重要的是，学习“高档次”的数学理论，绝对必须从对“低档次”数学的理解出发。

我常常觉得自己的数学生涯实在是太幸运了。记得那年在凯洛格（B. Kellogg）教授所开“非线性数值分析”的课堂上听到他讲关于赫希（M. Hirsch）用微分拓扑的反证法证明“布劳威尔（Brouwer）不动点”的存在定理【布劳威尔不动点定理，是拓扑学里一个重要定理，可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer）】

其实我觉得只要把赫希的证明稍稍做些变动（这个变动大概不超过原来证明的1%吧！），就可以轻易地把他的反证法（“……若‘不动点’不存在，则天下会大乱……”）变成一个找这些不动点的实际方法。后来和导师约克教授提起了我的看法。记得那时摆在我面前的研究课题有好几个，没想到约克教授却坚持要我全力以赴地去实践这个算法的构想。

老实说，那时我心里最不想做的就是这个问题。首先，我那时根本不懂计算（连基本的 Fortran 语言【为满足数值计算需求而发展出来的计算机程序语言，于 20 世纪 50 年代末由 IBM 公司开发】都不会）。另外，我们那时并没有什么“工作站”、“个人电脑”，所有计算程序都必须打在卡片上（一行一张卡），然后把它们送去计算机中心，他们用学校仅有的两台机器替你跑程序。

接下来就看你的运气了，有时二十分钟之后就有结果，有时要等两三个小时甚至更长时间。还有一个不想做这个题目的理由：那时总以为数学研究总是要证些定理什么的，搞些 ε-δ 的玩意儿，我对算布劳威尔不动点的构想即使可以顺利运作，好像也无法推出什么定理来。不管怎样，在我们那个年代，好像老师叫你做什么，你照着做就是了。虽然我自己心中极不热衷这个题目，但是从里到外都毫无排斥的意识。

记得我是在 1974 年 1 月中开始着手这个问题。关于写程序，甚至打卡都只好一面做一面学。我几乎每天在清晨 6 点半就送卡片去计算机中心，然后是等结果、改程序、等结果、改程序……常常弄到半夜 12 点多。每次等到的结果都因程序或算法的错误，基本上拿到的都是一大沓废纸。后来，去计算机中心拿(或等)一沓废纸好像已经变得习以为常了。记得是 3 月 15 日那天早上，我到计算机中心拿到的结果却只有薄薄的几页。起先心中只是大为疑惑：今天是怎么回事？没想到打开一看，居然算出“不动点”来了！那是个 100 维的问题！

说实在的，我那时心中并没有很大的成就感。这就好像老师要我去扫厕所，我终于把厕所打扫干净了，如是而已。没想到，大约在一个月后，约克教授在美国数学学会的Notice【即 Notices of the American Mathematical Society，美国数学会杂志】上看到一个将在当年6月26-28日在南卡罗来纳州的克莱姆森大学（Clemson University）举行“不动点计算及应用国际会议”（International Conference on Computing Fixed Points with Applications）的消息。

完全出乎我们意料之外的是，从 1967 年开始就有一大群人在研究布劳威尔不动点的算法。这些人多半是出自名校经济系、商学院、作业研究、工业工程等系所的教授，因为许多经济学里的模式的“均衡点”（Equilibrium）都可以用布劳威尔不动点的方式来表达，因此布劳威尔不动点的运算变成了实际应用上的一个重要工具。

这个会议显然邀请了那个门派所有的重量级人物去做报告。约克教授在知道这个会议的信息之后，立刻打了个电话给这个会议的主办人卡拉马尔迪昂（S. Karamardian），告诉他我们有一个新的算法。当时卡拉马尔迪昂也只是半信半疑地勉强答应提供我们两张往返克莱姆森的机票。后来我和凯洛格（Kellogg）教授一起参加了那个会议。我们在那里“一鸣惊人”。后来耶鲁大学经济系的讲座教授斯卡夫（H. Scarf，他是当初在 1967 年，第一个提出布劳威尔不动点算 法的）在会议论文集的简介里说：

“……对于我们中的很多人来说，在克莱姆森会议中给我们极大惊喜的是凯洛格、李和约克的一篇文章，文中他们给出了第一个通过使用微分拓扑里的连续映射来计算不动点的方法，而不是使用我们传统的组合方法。在这篇文章中，作者们同样给出了为何赫希的论证可以用来定义从任意指定的边界点到不动点的路径……”

附带一提的是，我们算法中所引用的微分拓扑概念，后来在解非线性问题数值计算的“同伦算法”中起了“革命性”的作用。

4. 为将来的幸运做好准备

前一阵子，我在美国一个期刊上读到一篇成功企业家退休后所写的感言，其中让我一直无法忘却的一句话是：

“……一个人必须为或将得到的幸运而做好准备……”

回想当初我在挣扎是否研究不动点的运算时，实在有很多借口可以像我曾经接触过的一些学生似的拖宕、躲闪、骗自己、拒绝干活……若真如此，这个天上掉下来的“万年火龟”不是轻易擦身而过了吗？

有一次和约克教授闲聊起关于“智商”的话题。一般来说，他并不太看重“智商”的高低。记得那时他说，“……在伯克利大学的人一般说来有高智商。但你很难相信他们在做多么笨的问题，我们将选择好的问题以超出他们 20 点的智商打败他们……”。这些话虽然略为邪门，但是这些年来，每次遇到该选什么研究题目时，总是想起他的这些话。

回想当初若给我一个选择，我绝不会拼了命去算布劳威尔不动点，心里真正想搞的倒是在那时偏微分方程领域里相当时髦的单调算子（Monotone operator），那时有许多知名的 人物（像是哈特曼（Hartman）、斯坦帕基亚（Stampacchia）、明蒂（Minty）、老莱昂（Lion）……）都在研究它。可是现在看来，那个时期在单调算子领域里的工作，几乎没有一个里程碑性的成果能够保留到今天。

这些年来，我个人曾直接接触过一些数学界的顶尖高手，但是若谈到判断题目意义的本领，我的导师约克教授在这方面的功力的确深厚，绝不输那些“顶尖高手”。这也许是我自己最大的幸运吧！

我从清华大学毕业已将近四十年了。有时常常想，若是重新再给我一次学习的机会，我将怎么做……但是

“没有人能使时光倒流，草原再绿，花卉再放。只有在剩余部分，争取力量！”【摘自作者中学时期看过的一部由华伦比提和娜妲丽华主演的电影《天涯何处无芳草》。】

所以，重新再给我一次机会的事只是幻想。我希望我的经历能在诸位长远的数学研究、学习、甚至教学上贡献一点什么。

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