对数正态分布期望推导

对数正态分布与正态分布很类似，除了它的概率分布向右进行了移动。也就是说，在对数正态分布的假设下，对数正态分布价格将不会出现低于0的情况。这与指数、对数函数的特点相关，你不用过多关注。对数正态分布从短期来看，与正态分布非常接近。但长期来看，对数正态分布向上分布的数值更多一些。更准确地说，对数正态分布中，有更大向上波动的可能，更小向下波动的可能。对数正态分布期权定价假定的就是对数正态分布。因此请记住，对数的正态分布表明，比起向下波动，价格将可以向上波动得更远。举例说明：对数正态分布假设标的合约价格为100，同时存在行权价格110的看涨期权以及行权价格90的看跌期权。再假设行权价格 110的看涨期权的价值为3美元，如果在正态分布下，行权价格90的看跌期权的价值也应该为3美元，因为正态分布是完全对称的。也就是说，对数正态分布市场价格上涨和下跌的可能性是一样的。

但在对数正态分布下是什么情况呢？在对数正态分布的假设下，如果行权价格110的看涨期权是3.20美元，行权价格90的看跌期权也是3.20美元吗[插图]？仔细考虑一下，对数正态分布行权价格110的看涨期权的价值最高能为多少？它的最大绝对值？答案是无穷大——如果市场价格可以达到无穷大，看涨期权的价值也可以是无穷大。但是，对数正态分布行权价格90的看跌期权的价值最高能为多少呢？当标的价格为0时，它将最多值90美元。由于标的市场价格不可能低于0，看跌期权的价值不可能比90美元还高。所以可以说明行权价格110的看涨期权将比行权价格90的看跌期权有更大的升值空间。因此，在对数正态分布假设下，行权价格90的看跌期权将比行权价格110的看涨期权价值更低。然而，所有这些都基于理论，理论并不一定能反映真实世界。