螺旋线的实现与思考

今早醒来有个关于画螺旋线想法

2021年2月2日，临晨醒来，躺其操作在床上一阵胡思乱想，突然想出一个有关画螺旋线的方法，其操作如下：

一、画圆方法

以某长度l为半径，以平面任意点O为圆心，把圆规的一脚放置圆心，另一脚在平面内转动，就能画出一个以O为圆心，l为半径的圆。

二、画螺旋线

1、4点螺旋线

（1）.在平面内，任取长度l作一正方形，其四个顶点为ABCD。

（2）.在ABCD四顶点中任取一点为圆心，即取A点，以l的长度为半径，画四分之一圆弧；

（3）.以A的对角线另一点C为圆心，以l再加l的长度为伴径，即2l，画四分之一圆弧，该弧与之前的弧相切；

（4）.以所画弧末端点对应的点D为圆心，以2l+l再加l的长度为伴径，此时半径为3l的长度，画四分之一圆弧，该弧与之前的弧相切；

（5）.以所画弧末端点对应的点A为圆心，以3l再加l的长度为伴径，此时半径为4l的长度，画四分之一圆弧，该弧与之前的弧相切；

（6）.重复上一步骤就可画出4点螺旋线。所画弧的圆心，在ABCD中一次变化，所画弧的半径，每画一次之后加长一个l，当画了n次后，伴径为nl的长度，每次只画四分之一圆弧，新圆弧与旧圆弧相切。

由“无生有，有生一，一生二，二生三，三生万物…”的找规律的思想，提出能不能用两点画出螺旋线呢？如是就有如下操作：

2、2点螺旋线

（1）.在平面内，任取长度l作一直线段，其端点为AB。

（2）.在AB二点中任取一点为圆心，即取A点，以l的长度为半径，画二分之一圆弧；

（3）.以B点为圆心，以2l的长度为伴径，画二分之一圆弧，该弧与之前的弧相切；

（4）.重复上一步骤就可画出2点螺旋线。所画弧的圆心，在AB中一次变化，所画弧的半径，每画一次之后加长一个l，当画了n次后，伴径为2^（n-1）l的长度，每次只画二分之一圆弧，新圆弧与旧圆弧相切。

三、总结

同理应该可画出等边三角形的螺旋线，等边三角形的边长为l，顶点为ABC，所画弧为三分之一，每画一次半径增加一倍。

依照这种操作模式可以画出很多的螺旋线，而圆是一种特殊的螺旋线。

一个圆心的螺旋线是圆，半径不变，圆心角360度，整圆弧；两个圆心的螺旋线是螺旋线，半径变化，半径是2^（n-1）l的长度，每次只画二分之一圆弧，新圆弧与旧圆弧相切；三个圆心的螺旋线是螺旋线，半径变化，半径是nl的长度，每次只画三分之一圆弧，新圆弧与旧圆弧相切；两个圆心的螺旋线是螺旋线，半径变化，半径是2^（n-1）l的长度，每次只画二分之一圆弧，新圆弧与旧圆弧相切；四个圆心的螺旋线是螺旋线，半径变化，半径是nl的长度，每次只画四分之一圆弧，新圆弧与旧圆弧相切；依次类推，对于圆心个数大于二的情况，构成的多边形为正多边形时，那么，圆弧长度就是整圆弧除以多边形的边数。如果是非正多边形，对应的圆心角度会事不同的。

四、螺旋运动坐标系

1、一个质点，由指定点开始，它参与两个运动，一个是匀速圆周运动，其角速度为a，另一个是沿半径匀速直线运动，它所画出的轨迹，即螺旋线，这样构成的坐标系称为螺旋运动坐标系。

2、螺旋运动坐标系的应用

（1）.上叙运动的大小你变，只改变方向，该质点运动轨迹不同。

a. 角速度定时地改变方向，其轨迹是逐渐变大的振荡线；

b. 半径上的匀速度定时地改变方向，其轨迹是逐渐变大的振荡线的螺旋线；

c. 如果两者都变向，那就更复杂，值得研究。